নির্ণায়কের ধর্মাবলী ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরনের গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা যায়। নিচে কিছু সাধারণ সমস্যা এবং নির্ণায়কের ধর্মের প্রয়োগের মাধ্যমে সেগুলোর সমাধান প্রদর্শন করা হলো।
ধরা যাক, একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স \(A\) দেওয়া হয়েছে:
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\]
\(A\) ম্যাট্রিক্সটি সিংগুলার কিনা তা নির্ণয় করতে হলে আমরা এর নির্ণায়ক বের করব।
\[
|A| = 1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) - 2 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) + 3 \times (4 \times 8 - 5 \times 7)
\]
\[
= 1 \times (45 - 48) - 2 \times (36 - 42) + 3 \times (32 - 35)
\]
\[
= 1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-3)
\]
\[
= -3 + 12 - 9 = 0
\]
যেহেতু \(|A| = 0\), তাই \(A\) একটি সিংগুলার ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ, এর কোনো বিপরীত (Inverse) নেই।
ধরা যাক, \(A\) এবং \(B\) দুটি \(2 \times 2\) ম্যাট্রিক্স, যেখানে
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{এবং} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
\]
আমরা জানতে চাই \(|AB|\) কত।
প্রথমে \(|A|\) এবং \(|B|\) নির্ণয় করি:
\[
|A| = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5
\]
\[
|B| = 0 \times 2 - 1 \times (-1) = 0 + 1 = 1
\]
এখন, নির্ণায়কের ধর্মাবলী অনুযায়ী, \(|AB| = |A| \times |B|\), সুতরাং
\[
|AB| = 5 \times 1 = 5
\]
ধরা যাক, আমাদের নিচের দুটি সমীকরণ দেওয়া আছে:
\[
2x + 3y = 5
\]
\[
4x + y = 11
\]
এটি সমাধান করার জন্য আমরা ক্র্যামের নিয়ম ব্যবহার করতে পারি।
প্রথমে কফিশিয়েন্ট ম্যাট্রিক্সটি লিখি এবং এর নির্ণায়ক বের করি:
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}
\]
\[
|A| = 2 \times 1 - 3 \times 4 = 2 - 12 = -10
\]
এখন, \(x\) এবং \(y\)-এর জন্য আলাদা ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বের করি।
\[
A_x = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 11 & 1 \end{pmatrix}
\]
\[
|A_x| = 5 \times 1 - 3 \times 11 = 5 - 33 = -28
\]
\[
A_y = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 11 \end{pmatrix}
\]
\[
|A_y| = 2 \times 11 - 5 \times 4 = 22 - 20 = 2
\]
এখন, ক্র্যামের নিয়ম অনুযায়ী,
\[
x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-28}{-10} = 2.8
\]
\[
y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{2}{-10} = -0.2
\]
অতএব, সমাধান হলো \(x = 2.8\) এবং \(y = -0.2\)।
যদি একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স দেওয়া থাকে যেমন:
\[
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}
\]
ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয় করার জন্য শুধুমাত্র প্রধান কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল করতে হবে:
\[
|A| = 3 \times 5 \times 4 = 60
\]
ধরা যাক, একটি ম্যাট্রিক্স \(A\) দেওয়া আছে:
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
\]
আমরা জানি যে \(|A^T| = |A|\), সুতরাং প্রথমে \(|A|\) নির্ণয় করি:
\[
|A| = 2 \times 4 - (-1) \times 3 = 8 + 3 = 11
\]
তাহলে \(|A^T| = 11\)।
এই উদাহরণগুলো থেকে বোঝা যায় যে নির্ণায়কের ধর্মাবলী ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা সহজ হয়ে যায়।
or
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
